Закон равномерной плотности

 

Если возможные значения случай­ных погрешностей заключены в определенных пределах и одинаково вероятны, то считают, что они распределены по закону равномерной плотности. Плотность вероятности определяют по формуле

 

        при                  ;

 

                       при                  или ;

 

причем                                                                                      (1)

 

График плотности вероятности, приведенный на рис. 1а, определяет поле рас­сеивания погрешности.

 

 

 

Рис. 1а. График равномерной плотности вероятности распределения случайной погрешности измерений

 

 

Числовые характеристики погрешностей, распределенных по этому закону, определяют по формулам:

                            (2)

 

 

где М()—математическое ожидание случайной погрешности ;

s ()—среднее квадратическое от­клонение ;

1 и 2 — предельные значения погрешности .

 

В случае симметричного распределения М()=0.

Распространенными  случаями  применения  равномерного зако­на распределения являются следующие.

 

1. Секундные стрелки часов перемещаются скачкообразно. Если положение стрелки зафиксировано в положении т секунд, то истинный момент времени t является случайной величиной, имею­щей значения с равной вероятностью от m до  (m +1)  секунды.

 

2. Погрешность квантования обусловлена и округлением резуль­татов вычислений при обработке экспериментальных данных. Такая погрешность заключена в пределах ± 5 единиц отбрасы­ваемого при округлении десятичного разряда, ее СКО составляет = 2,89 единиц этого разряда. Для уменьшения погрешности округления вычисления проводят с большим числом значащих цифр, а результат округляют лишь на последнем этапе вычисле­ний.

 

          3. Равномерное     квантование   (дискретизация)        непрерывных величин по уровню в цифровых измерительных приборах и аналого-цифровых преобразователях (АЦП) связано с разбиением диапазона измеряе­мых значений непрерывной вели­чины [Хmin, Xmax] на n равных интервалов, называемых шагом квантования

На выходе средства измерения            сигнал    будет    изменяться только в моменты достижения входного сигнала границы данного шага квантования d. В результате непрерывный входной сигнал становит­ся дискретным. Поскольку измеряемая величина в пределах ша­га квантования является случайной, а регистрируются только нижнее и верхнее значения сигнала, принадлежащие шагу кванто­вания, то возникает методическая, случайная погрешность, назы­ваемая погрешностью квантования (рис. 1б).

 

 

d-adc

 

Рис. 1б – функция квантования и погрешность в случае отождествления сигнала с нижней границей интервала;

Рис. 1в - функция квантования и погрешность в случае отнесения сигнала к середине интервала.

 

 

Погрешность квантования  или в случае, приведенном на рис. 1б, равна (по входу средства измерения) разности между измеря­емой величиной и значением  шага квантования d, т.е.  = x - d. При небольшом шаге квантования распределение погрешностей квантования мож­но считать равномерным.

Математическое ожидание и СКО погрешности квантования в соответствии с формулами (2) будут:

 

                                (2б)

Если квантованная функция изменяется скачком при значении, равном половине шага квантования (рис. 1в), т.е. распределение имеет границы от (-1/2; +1/2) шага квантования, то

 

                              (2в)

4. Квантование происходит и при измерениях аналоговыми при­борами за счет округления измеряемой величины при ее считыва­нии по шкале с ценой деления Uдел. Если при считывании выбрать значение измеряемой величины соответствующим ближайшей к указателю отметке шкалы, то измеряемая величина квантуется по уровням, соответствующим отметкам шкалы. Если округление производят до ближайшей к указателю отметке, то погрешность квантования, которую называют погрешностью при отсчитывании, лежит в симметричных пределах ± Uдел/2, а систематическая погрешность отсутствует.

 

В начало главы

оглавление

практическая часть