Если возможные значения случайных
погрешностей заключены в определенных пределах и одинаково вероятны, то
считают, что они распределены по закону равномерной плотности. Плотность
вероятности определяют по формуле
при
;
при
или
;
причем (1)
График плотности вероятности, приведенный
на рис. 1а, определяет поле рассеивания погрешности.
Рис. 1а. График
равномерной плотности вероятности распределения случайной погрешности измерений
Числовые характеристики погрешностей,
распределенных по этому закону, определяют по формулам:
(2)
где М()—математическое ожидание случайной погрешности
;
s ()—среднее квадратическое отклонение
;
1 и
2 — предельные значения погрешности
.
В случае симметричного
распределения М()=0.
Распространенными случаями
применения равномерного закона распределения являются следующие.
1. Секундные стрелки
часов перемещаются скачкообразно. Если положение стрелки
зафиксировано в положении т секунд,
то истинный момент времени t
является случайной величиной, имеющей значения с равной вероятностью от m до (m +1)
секунды.
2. Погрешность квантования
обусловлена и округлением результатов вычислений при обработке
экспериментальных данных. Такая погрешность заключена в пределах ± 5 единиц отбрасываемого
при округлении десятичного разряда, ее СКО составляет = 2,89 единиц этого разряда. Для уменьшения погрешности
округления вычисления проводят с большим числом значащих цифр, а результат
округляют лишь на последнем этапе вычислений.
На выходе средства
измерения сигнал
будет изменяться только в моменты достижения входного сигнала границы
данного шага квантования d. В результате непрерывный входной сигнал становится дискретным. Поскольку измеряемая величина в пределах шага квантования является случайной, а регистрируются только нижнее и верхнее значения сигнала, принадлежащие шагу квантования, то возникает методическая, случайная погрешность, называемая погрешностью квантования (рис. 1б).
Рис. 1б – функция квантования и погрешность в случае
отождествления сигнала с нижней границей интервала; |
Рис. 1в - функция квантования и погрешность в случае
отнесения сигнала к середине интервала. |
Погрешность квантования
или
в случае, приведенном на рис. 1б, равна (по входу средства измерения) разности
между измеряемой величиной и значением шага квантования d, т.е.
= x - d. При небольшом шаге квантования распределение погрешностей квантования можно считать равномерным.
Математическое ожидание и СКО
погрешности квантования в соответствии с
формулами (2) будут:
(2б)
Если квантованная функция изменяется
скачком при значении, равном половине шага квантования (рис. 1в), т.е. распределение
имеет границы от (-1/2; +1/2) шага квантования, то
(2в)
4. Квантование
происходит и при измерениях аналоговыми приборами за счет округления
измеряемой величины при ее считывании по шкале с ценой деления Uдел. Если при
считывании выбрать значение измеряемой величины соответствующим ближайшей к
указателю отметке шкалы, то измеряемая величина квантуется по уровням,
соответствующим отметкам шкалы. Если округление производят до ближайшей к
указателю отметке, то погрешность квантования, которую называют погрешностью
при отсчитывании, лежит в симметричных пределах ± Uдел/2, а
систематическая погрешность отсутствует.