ФУНКЦИИ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В теории измерений для описания погрешности измерений используют интегральное (рис 1) или дифференциальное (рис. 2) представление функции распределения результатов измерений.

Под интегральной функцией распределения результатов измерений понимают вероятность того, что результат измерения А в i-том опыте окажется меньше некоторого текущего значения x, т.е.

F(x) = P(A £ x) (2.1).

Случайную погрешность рассматривают как случайную величину, принимающую различные значения . Ее интегральную функцию распределения получают путем переноса начала координат в точку x₌x_ист:

(2.2).

Рис. 1. Интегральная функция распределения случайной погрешности измерений.

Дифференциальная функция распределения—производная от интегральной по своему аргументу:

; (2.3).

Графики дифференциальных функций распределения называют также кривыми распределения, в ряде случаев (но далеко не всегда) они имеют колоколообразную форму и обладают максимумом при x₌x_ист или = 0 соответственно.

Рис. 2. Дифференциальная функция распределения результатов измерений (вверху)

и дифференциальная функция распределения случайной погрешности измерений (внизу).

При переходе от дифференциальной функции распределения к интегральной путем интегрирования получают

; (2.4).

Предполагая в соответствии с теорией вероятностей, что F(+¥) = l (вероятность достоверного события равна 1), получают

(2.5).

т. е. площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице.

При проведении измерения вероятность попадания результата измерения А или случайной погрешности в интервал (x₁ , x₂ ) или (₁ ,₂ ) оценивают по формулам для интегральной функции распределения

P(x₁ £ A £ x₂) = F (x₂) –F( x₁) (2.6),

(2.7);

или в обозначениях дифференциальной функции распределения

(2.8),

(2.9).

Таким образом, вероятность попадания результата измерения или случайной погрешности в заданный интервал дифференциальной функции распределения равна площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах этого интервала (заштрихованная площадь на рис. 2). Форма кривой распределения позволяет судить о том, какие интервалы значений случайных погрешностей более, а какие менее вероятны. Закон распределения и его характеристики результатов измерений А или их погрешности дают исчерпывающую информацию о случайных величинах А и . На практике зачастую достаточно знать только числовые характеристики законов распределения. Их использование позволяет упростить решение задач обеспечения точности измерений.

Результаты измерений в значительной степени сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой величины, и по мере приближения к нему элементы вероятности их появления возрастают. Характеристикой места группирования случайной величины — результата измерений — является математическое ожидание, определяемое по формуле

(2.10).

В этом случае систематической погрешностью является отклонение математического ожидания результатов измерений от истинного значения измеряемой величины:

(2.11),

а случайной погрешностью — разность между результатами единичного измерения и математическим ожиданием результатов:

(2.12).

При этом истинное значение измеряемой величины

(2.13).

Математическое ожидание погрешности измерения М(Δ)= Δ_с обусловлено влиянием на него факторов, воздействующих вполне определенным образом. Причины этих воздействий могут быть установлены и в большинстве случаев устранены, например, введением поправок при контроле и регулировке аппаратуры. Математическое ожидание не определяет степень рассеивания возможных значений погрешности около среднего значения. Для полной характеристики распределения погрешности применяют центральные моменты.

Одним из центральных моментов является дисперсия, характеризующая рассеивание случайных величин вокруг математического ожидания. Дисперсия распределения результатов измерения

D(A)=M[A-M(A)]² (2.14) .

Дисперсия распределения случайных погрешностей измерения

D()=D(A) = M[A-M(A)]² (2.15).

Как показано в формулах (2.13) и (2.14), дисперсии распределения результатов и случайных погрешностей измерения имеют значения, равные квадрату измеряемой величины.

В качестве характеристики рассеивания также используют среднее квадратическое отклонение результатов измерения

s (А) = (2.16).

Таким образом, важнейшие характеристики распределения — положение центра рассеивания и степень его разбросанности — определяются математическим ожиданием и дисперсией.

Для характеристики погрешности измерения удобнее использовать ее среднее квадратическое отклонение:

s (Δ) = (2.17),

выраженное в тех же единицах, что и погрешность, и характеризующее случайные отклонения погрешностей от их среднего значения, обусловленные воздействием на средства измерений различных случайных факторов.

Оглавление

Практическая часть