Точечные оценки законов распределения
Рассмотренные выше функции
распределения описывают поведение непрерывных случайных величин, т.е. величин,
возможные значения которых неотделимы друг от друга и непрерывно заполняют
некоторый конечный или бесконечный интервал. На практике все результаты
измерений и случайные погрешности являются величинами дискретными, т.е.
величинами Ai, возможные значения
которых отделимы друг от друга и поддаются счету. При использовании дискретных
случайных величин возникает задача нахождения точечных оценок
параметров их функций распределения на основании выборок — ряда значений Ai принимаемых случайной величиной X в i независимых опытах.
Используемая выборка должна быть репрезентативной
(представительной), т.е. должна достаточно хорошо представлять пропорции
генеральной совокупности.
Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. Задача нахождения точечных
оценок — частный случай статистической задачи нахождения
оценок параметров функции распределения случайной величины на основании
выборки. В отличие от самих параметров их точечные оценки являются случайными
величинами, причем их значения зависят от объема экспериментальных данных, а
закон распределения — от законов распределения самих случайных величин.
Точечные оценки могут быть
состоятельными, несмещенными и эффективными. Состоятельной называется оценка, которая при увеличении
объема выборки стремится по вероятности к истинному значению числовой
характеристики. Несмещенной
называется оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой числовой
характеристике. Наиболее эффективной
считают ту из нескольких возможных несмещенных оценок, которая имеет
наименьшую дисперсию. Требование несмещенности на
практике не всегда целесообразно, так как оценка с небольшим смещением и
малой дисперсией может оказаться предпочтительнее несмещенной оценки с большой
дисперсией. На практике не всегда удается удовлетворить одновременно все три
этих требования, однако выбору оценки должен предшествовать ее критический
анализ со всех перечисленных точек зрения.
Точечной оценкой МО
результата измерений является среднее
арифметическое значение измеряемой величины
(3.1).
При любом законе
распределения оно является состоятельной и несмещенной оценкой, а также
наиболее эффективной по критерию наименьших квадратов.
Точечная оценка дисперсии,
определяемая по формуле
(3.2),
является
несмещенной и состоятельной.
СКО случайной
величины х определяется как корень квадратный из
дисперсии. Соответственно его оценка может быть найдена путем извлечения корня
из оценки дисперсии.
(3.3).
Полученные оценки МО и СКО
являются случайными величинами. Это проявляется в том, что при повторениях
серий из n наблюдений каждый раз будут получаться различные
оценки и
.