ФУНКЦИИ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

 

В теории измерений для описания погрешности измерений используют интегральное (рис 1) или дифференциальное (рис. 2) представление функции распределения результатов измерений.

Под интегральной функцией распределения результатов измерений понима­ют вероятность того, что результат измерения А в i-том опыте окажется меньше некоторого текущего значения x, т.е.

 

F(x) = P(A £ x)                                               (2.1).

 

Случайную погрешность рассматривают как случайную величину, прини­мающую различные значения . Ее интегральную функцию распределения по­лучают путем переноса начала координат в точку  x=xист:

 

                   (2.2).

 

 

Рис. 1. Ин­тегральная функция распределения случайной погрешности измерений.

 

Дифференциальная функция распределения—производ­ная от интегральной по своему аргументу:

 

;                                  (2.3).

 

Графики дифференциальных функций распределения называют также кривыми распределения, в ряде случаев (но далеко не всегда) они имеют колоколообразную форму и обладают максимумом при  x=xист  или  = 0 соответственно.

 

 

 

Рис. 2. Дифференциальная функция распределения результатов  измерений (вверху)

и дифференциальная функция распределения случайной погрешности измерений (внизу).

 

При переходе от дифференциальной функции распределения к интегральной путем интегрирования получают

;                        (2.4).

 

Предполагая в соответствии с теорией вероятностей, что F(+¥) = l (вероятность достоверного события равна 1), получают

 

                                          (2.5).

 

т. е. площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распре­деления и осью абсцисс, равна единице.

При проведении измерения вероятность попадания результата измерения А или случайной погрешности  в интервал (x1 , x2 ) или (1 ,2 ) оценивают по формулам для интегральной функции распределения

 

P(x1 £ A £ x2) = F (x2) –F( x1)                        (2.6),

                  (2.7);

 

или в обозначениях дифференциальной функции распределения

 

                            (2.8),

                          (2.9).

 

Таким образом, вероятность попадания результата измерения или случай­ной погрешности в заданный интервал дифференциальной функции распределения равна площади, ограниченной кривой распределения, осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах этого ин­тервала (заштрихованная площадь на рис. 2). Форма кривой распределения позволяет судить о том, какие интервалы значений случайных погрешностей более, а какие менее ве­роятны. Закон распределения и его характеристики результатов измерений  А или их погрешно­сти  дают исчерпывающую информацию о случайных величинах А и . На практике зачастую достаточно знать только числовые характеристики законов распределения. Их использование позволяет упростить решение задач обеспе­чения точности измерений.

Результаты измерений в значительной степени сконцентрированы вокруг истинного значения измеряемой величины, и по мере приближения к нему эле­менты вероятности их появления возрастают. Характеристикой места группиро­вания случайной величины — результата измерений — является математическое ожидание, определяемое по формуле

 

                             (2.10).

 

В этом случае систематической погрешностью является отклонение матема­тического ожидания результатов измерений от истинного значения измеряемой величины:

 

                               (2.11),

 

а случайной погрешностью — разность между результатами единичного изме­рения и математическим ожиданием результатов:

 

                                    (2.12).

 

При этом истинное значение измеряемой величины

 

                               (2.13).

 

Математическое ожидание погрешности измерения М(Δ)= Δс обусловлено влиянием на него факторов, воздействующих вполне определенным образом. Причины этих воздействий могут быть установлены и в большинстве случаев устранены, например, введением поправок при контроле и регулировке аппара­туры. Математическое ожидание не определяет степень рассеивания возможных значений погрешности около среднего значения. Для полной характеристики распределения погрешности применяют центральные моменты.

 

Одним из центральных моментов является дисперсия, характеризующая рас­сеивание случайных величин вокруг математического ожидания. Дисперсия распределения результатов измерения

 

D(A)=M[A-M(A)]2                              (2.14) .

 

Дисперсия распределения случайных погрешностей измерения

 

D()=D(A) = M[A-M(A)]2                     (2.15).

 

 

Как показано в формулах (2.13) и (2.14), дисперсии распределения результа­тов и случайных погрешностей измерения имеют значения, равные квадрату измеряемой величины.

В качестве характеристики рассеивания также используют среднее квадратическое отклонение результатов измерения

 

s (А) =                                   (2.16).

 

Таким образом, важнейшие характеристики распределения — положение центра рассеивания и степень его разбросанности — определяются математическим ожиданием и дис­персией.

Для характеристики погрешности измерения удобнее использовать ее сред­нее квадратическое отклонение:

 

s (Δ) =                                    (2.17),

 

 выраженное в тех же единицах, что и погрешность, и характеризующее случайные отклонения погрешностей от их среднего значения, обусловленные воздействием на средства измерений раз­личных случайных факторов.

 

Оглавление

Практическая часть